TEORIAS E FILOSOFIAS DE GRACELI 310

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES EN CADEIAS, DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =

TRANSFORMAÇÕES ⇔ INTERAÇÕES ⇔ TUNELAMENTO ⇔ EMARANHAMENTO ⇔ CONDUTIVIDADE ⇔ DIFRAÇÕES ⇔ estrutura eletrônica, spin, radioatividade, ABSORÇÕES E EMISSÕES INTERNA ⇔ Δ de temperatura e dinâmicas, transições de estados quântico Δ ENERGIAS, ⇔ Δ MASSA , ⇔ Δ CAMADAS ORBITAIS , ⇔ Δ FENÔMENOS , ⇔ Δ DINÂMICAS, ⇔ Δ VALÊNCIAS, ⇔ Δ BANDAS, Δ entropia e de entalpia, E OUTROS.

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

[EQUAÇÃO DE DIRAC].

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

+ FUNÇÃO TÉRMICA.

N=N_{{o}}.e^{{-\lambda .t}}

+ FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

T=e^{-2bL}

b={\sqrt {\frac {8\pi ^{2}m(Ub-E)}{h^{2}}}}

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

+ ENTROPIA REVERSÍVEL

\sigma =q(n\mu _{n}+p\mu _{p})[\Omega .cm]^{{-1}}

FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

E_{p}={\sqrt {{\frac {\hbar c^{5}}{G}}}}\approx

ENERGIA DE PLANCK

$V [R] [MA] = Δ e, M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M......$
ΤDCG
X
Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
x
sistema de dez dimensões de Graceli +
DIMENSÕES EXTRAS DO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.[como, spins, posicionamento, afastamento, ESTRUTURA ELETRÔNICA, e outras já relacionadas]..
DIMENSÕES DE FASES DE ESTADOS DE TRANSIÇÕES DE GRACELI.
x
sistema de transições de estados, e estados de Graceli, fluxos aleatórios quântico, potencial entrópico e de entalpia. [estados de transições de fases de estados de estruturas, quântico, fenomênico, de energias, e dimensional [sistema de estados de Graceli].
x
TEMPO ESPECÍFICO E FENOMÊNICO DE GRACELI
X
T l   T l    E l      Fl        dfG l
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A eletrosfera é constituída de elétrons. Essa região não existiria considerando-se somente os efeitos da mecânica clássica, já que os elétrons migrariam para o núcleo devido a atração do elétron com o próton. Ela existe em consideração aos resultados da mecânica quântica. Diferente da mecânica clássica, o elétron não se comporta como uma partícula e sim como um ente quântico, respeitando a dualidade onda-partícula.

Essa dualidade implica que cada elétron possui um comprimento de onda de Broglie, possuindo tal comprimento de onda há um caráter ondulatório que satisfaz a equação de Schrödinger.

A resposta na estabilidade do elétron está no caráter ondulatório deste ente quântico. O elétron é estável, pois ao redor do átomo ele forma ondas estacionárias, assim como em cordas que possuem harmônicos, nós e ventres. Na eletrosfera, a região de maior probabilidade de encontrar o elétron seria nos ventres e a região onde jamais poderia ser encontrado o elétron seria nos nós, exatamente como nas Ondas estacionárias.

No átomo de hidrogênio o local onde o elétron será encontrado (exceto nos nós) se dá pela equação do Raio de Bohr:

a_{0}=0,53*10^{-10}\,\!

E a energia de cada "harmônico" é dada por:

E_{n}={\frac {-13.6\ \mathbf {eV} }{n^{2}}}\,

x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES EN CADEIAS, DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

[EQUAÇÃO DE DIRAC].

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

+ FUNÇÃO TÉRMICA.

N=N_{{o}}.e^{{-\lambda .t}}

+ FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

T=e^{-2bL}

b={\sqrt {\frac {8\pi ^{2}m(Ub-E)}{h^{2}}}}

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

+ ENTROPIA REVERSÍVEL

\sigma =q(n\mu _{n}+p\mu _{p})[\Omega .cm]^{{-1}}

FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

E_{p}={\sqrt {{\frac {\hbar c^{5}}{G}}}}\approx

ENERGIA DE PLANCK

$V [R] [MA] = Δ e, M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M......$
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DIMENSÕES EXTRAS DO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.[como, spins, posicionamento, afastamento, ESTRUTURA ELETRÔNICA, e outras já relacionadas]..
DIMENSÕES DE FASES DE ESTADOS DE TRANSIÇÕES DE GRACELI.
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sistema de transições de estados, e estados de Graceli, fluxos aleatórios quântico, potencial entrópico e de entalpia. [estados de transições de fases de estados de estruturas, quântico, fenomênico, de energias, e dimensional [sistema de estados de Graceli].
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TEMPO ESPECÍFICO E FENOMÊNICO DE GRACELI
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Ondas estacionárias são ondas que possuem um padrão de vibração estacionário. Formam-se a partir de uma superposição de duas ondas idênticas mas em sentidos opostos, normalmente quando as ondas estão confinadas no espaço como ondas sonoras em um tubo fechado e ondas de uma corda com as extremidades fixas. Esse tipo de onda é caracterizado por pontos fixos de valor zero, chamados de nodos, e pontos de máximo também fixos, chamados de antinodos. São ondas resultantes da superposição de duas ondas de mesma frequência, mesma amplitude, mesmo comprimento de onda, mesma direção e sentidos opostos. ^[1]

Ondas Opostas[editar | editar código-fonte]

Uma onda estacionária em uma linha de transmissão é uma onda na qual a distribuição de corrente elétrica, tensão elétrica, ou campo elétrico é formado pela superposição de duas ondas de mesma frequência se propagando em sentidos opostos. O efeito é uma série de nodos (deslocamento zero) e antinodos (deslocamento máximo) em pontos fixos ao longo da linha de transmissão. Esta onda estacionária pode ser formada quando uma onda é transmitida a partir de uma extremidade da linha de transmissão e é refletida na outra extremidade por um casamento de impedâncias, ex., descontinuidade, como um circuito aberto ou um curto-circuito.^[2]

Na prática, perdas na linha de transmissão e outros componentes significa uma reflexão perfeita e uma onda estacionária pura nunca é gerada. O resultado é uma onda estacionária parcial, que é uma superposição de uma onda estacionária e uma outra onda. A forma de onda resultante é medida pela relação de ondas estacionárias (ROE).^[3]

Descrição Matemática[editar | editar código-fonte]

Quando há um movimento oscilatório harmônico simples, como por exemplo em uma corda, o deslocamento

y_{n}(x,t)

de cada ponto da onda pode ser descrito pela equação:

y_{n}(x,t)\;=\;A_{n}(x)\,\cos(\omega _{n}t+\delta _{n})\,

x

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

Sendo:

A_n (x) a amplitude, que depende da posição x do elemento,
ω a frequência angular (medida em radianos por segundo),
δ_n a constante de fase,
t é a variável tempo.

A função A_n (x) é a forma da onda quando a vibração tem seu deslocamento máximo e em seu n-ésimo modo pode ser definida por:

A_{n}(x)\;=\;A_{n}\sin(k_{n}x)\,

x

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

Onde:

k_n é o número de onda (definido por 2π/λ_n)

Utilizando ambas as equações podemos definir a função da onda em seu n-ésimo harmônico por:

y_{n}(x,t)\;=\;A_{n}\sin(k_{n}x)\,\cos(\omega _{n}t+\delta _{n})\,

x

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

Presumindo que ambas as condições necessárias para que ocorra o movimento da onda estacionária sejam satisfeitas. São elas:

Cada ponto da onda oscila em movimento harmônico simples ou permanece em repouso (nodo).
O movimento de dois pontos da onda que não sejam nodos oscilam defasados em 180º ou em fase.^[1]

Ondas Estacionárias em Cordas[editar | editar código-fonte]

Os três primeiros harmônicos de uma corda com ambas as extremidades fixas.

Em certas frequências de oscilação cordas com uma ou ambas as extremidades fixas podem gerar ondas estacionárias.^[1]

Corda com Ambas as Extremidades Fixas[editar | editar código-fonte]

Se excitada uma corda fixa em ambas as extremidades com um movimento harmônico simples de amplitude pequena, são produzidos padrões de ondas estacionárias para certas frequências de excitação. As frequências que geram este comportamento são chamadas de frequência de ressonância. A menor frequência de ressonância é chamada de frequência fundamental (vamos chama-la de f₁) e produz um padrão de onda estacionária chamado de modo fundamental ou primeiro harmônico. Cada frequência de ressonância juntamente com a respectiva função de onda corresponde a um modo de vibração. Como a corda está fixa em ambas as extremidades, nestes locais é formado um nodo. Nota-se assim que no primeiro harmônico haverá somente um antinodo, no segundo haverá dois antinodos e assim por diante. A partir destas observações e considerando λ o comprimento de onda, temos que:

A distância entre dois nodos consecutivos, que é a mesma de dois antinodos, vale ${\frac {\lambda }{2}}$ .
A distância entre um nó e um ventre consecutivo vale ${\frac {\lambda }{4}}$ .
x

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES EN CADEIAS, DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

[EQUAÇÃO DE DIRAC].

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

+ FUNÇÃO TÉRMICA.

N=N_{{o}}.e^{{-\lambda .t}}

+ FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

T=e^{-2bL}

b={\sqrt {\frac {8\pi ^{2}m(Ub-E)}{h^{2}}}}

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

+ ENTROPIA REVERSÍVEL

\sigma =q(n\mu _{n}+p\mu _{p})[\Omega .cm]^{{-1}}

FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

E_{p}={\sqrt {{\frac {\hbar c^{5}}{G}}}}\approx

ENERGIA DE PLANCK

$V [R] [MA] = Δ e, M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M......$
ΤDCG
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Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
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DIMENSÕES EXTRAS DO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.[como, spins, posicionamento, afastamento, ESTRUTURA ELETRÔNICA, e outras já relacionadas]..
DIMENSÕES DE FASES DE ESTADOS DE TRANSIÇÕES DE GRACELI.
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sistema de transições de estados, e estados de Graceli, fluxos aleatórios quântico, potencial entrópico e de entalpia. [estados de transições de fases de estados de estruturas, quântico, fenomênico, de energias, e dimensional [sistema de estados de Graceli].
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TEMPO ESPECÍFICO E FENOMÊNICO DE GRACELI
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T l   T l    E l      Fl        dfG l
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Sendo L o comprimento da corda, ele pode ser expresso por:

L=n{\frac {\lambda _{n}}{2}}\;\;\;\;\;\;\;n=1,2,3,...

x

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

Onde n representa o n-ésima harmônica.^[1]

Corda com Uma das Extremidades Fixa e a Outra Livre[editar | editar código-fonte]

Quando uma das extremidades se encontra fixa e a outra, por exemplo, se encontra ligada a um anel (de massa desprezível) livre para deslizar na vertical, sem atrito. Como o movimento da corda é livre na vertical, diz-se que aquela é uma extremidade livre. Como a massa do anel é desprezível, a força vertical gerada pela corda geraria uma aceleração infinita ao anel. Se a forma da corda junto ao anel permanecer horizontal a aceleração se manterá finita. Assim, na extremidade livre da corda haverá um antinodo. Deve-se notar, portanto, que diferentemente da corda fixa em ambas extremidades, a cada harmônica há um número ímpar de antinodos. Como a corda representa a distância entre um nodo (a extremidade fixa) e um antinodo (a extremidade livre), o comprimento da corda é dado por:

L=n{\frac {\lambda _{n}}{4}}\;\;\;\;\;\;\;n=1,3,5,...

x

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

Onde n representa o n-ésima harmônica, não havendo os harmônicos pares nesse sistema.^[1]

Ondas Sonoras Estacionárias[editar | editar código-fonte]

Tubos Sonoros[editar | editar código-fonte]

Flauta que representa Tubo Sonoro Aberto. Para obter diferentes frequências (notas musicais), o músico muda a posição dos dedos, determinando o local em que o tubo ficará aberto, ou varia o tamanho do tubo.

Alguns tubos sonoros contêm uma coluna de ar que pode executar uma vibração estacionária. Se as duas extremidades do tubo são desobstruídas, ele é denominado tubo aberto; chamamos de tubo fechado o tubo que tem a extremidade tapada. Como são ondas longitudinais, a construção da vibração estacionária no tubo deve obedecer às seguintes condições de contorno:

♦ as extremidades abertas são locais onde a vibração é livre, correspondendo, portanto, a ventres;

♦ as extremidades fechadas são locais onde não há vibração longitudinal; são, portanto, nós.^[4]

Iremos considerar um tubo com uma extremidade aberta e a outra fechada. Como uma onda sonora pode ser considerada uma onda de pressão ou uma onda de deslocamento e as oscilações de pressão e deslocamento são desfasadas em 90º, em uma onda sonora estacionária onde há um nodo de pressão há um antinodo de deslocamento e vice-versa. Se a circunferência do tubo for muito menor que o comprimento da onda, podemos dizer que a onda sonora no tubo é unidimensional e há um nodo de pressão na extremidade aberta do tubo. Há, portanto, um antinodo na extremidade fechada do tubo. Assim as oscilações em um tubo com uma extremidade aberta e a outro fechada se assemelha com uma corda com uma extremidade fixa e a outra livre. Seguindo a mesma interpretação, em um tubo com ambas as extremidades abertas, há um nodo de pressão em cada extremidade. Estas configurações fazem com que as ondas estacionárias em um tubo de ambas as extremidades abertas se assemelhe as de uma corda com ambas as extremidades fixas.^[1]

Em uma coluna de ar que esteja aberta em ambas as extremidades, no modo fundamental, o comprimento de onda é o dobro do comprimento da coluna de ar e , portanto, a frequência f1 fundamental é

{\frac {v}{2L}}

. De maneira similar, as frequências dos harmônicos superiores são 2f1, 3f1,... .Os harmônicos superiores são múltiplos inteiros da frequência fundamental. Como estão presentes todos os harmônicos, podemos expressar as frequências naturais de vibração como:

fn=n{\frac {v}{2L}}\;\;\;\;\;\;\;n=1,2,3,...

x

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

Onde n representa o n-ésima harmônica, v é a velocidade do som no ar,L comprimento do tubo.

Se uma coluna de ar é fechada em uma extremidade e aberta na outra, a extremidade fechada é um nó de deslocamento. Neste caso, o comprimento de onda para o modo fundamental é quatro vezes o comprimento da coluna. Portanto, a frequência fundamental f1 é igual a

{\frac {v}{4L}}

e as frequências dos harmônicos superiores são iguais a 3f1, 5f1,.... Isto é, em uma coluna de ar que é fechada em uma extremidade, apenas os harmônicos ímpares estão presentes e estes são:

fn=n{\frac {v}{4L}}\;\;\;\;\;\;\;n=1,3,5,...

x

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

As ondas estacionárias em colunas de ar são as fontes primárias dos sons produzidos por instrumentos de sopro. Em um instrumento de sopro de madeira, uma chave é pressionada abrindo um furo no lado da coluna. O furo define a extremidade da coluna vibrante de ar(pois age como uma extremidade aberta- a pressão pode ser liberada), de modo que a coluna de seja de fato encurtada e a frequência fundamental de eleve. Em um instrumento de metal, o comprimento da coluna de ar é mudado por uma seção ajustável, como em um trombone de vara, ou adicionando-se segmentos ao tubo, como é feito em um trompete quando uma válvula é pressionada.^[5]

Para processos cíclicos, tais como a rotação, oscilações, ou ondas, a frequência é definida como um número de ciclos por unidade de tempo. Em física e disciplinas de engenharia, tais como óptica, acústica e de rádio, a frequência é geralmente indicada por uma letra f Latina ou pela letra grega ν (nu). Note que a frequência angular é usualmente representada pela letra grega ω (ômega), que tem como unidade no SI radianos por segundo (rad/s).

Para contagens por unidade de tempo, a unidade no SI para a frequência é o hertz (Hz), em homenagem ao físico alemão Heinrich Hertz, 1 Hz significa que o evento se repete uma vez por segundo. Um nome anterior para esta unidade foi ciclos por segundo.

A unidade tradicional de medida utilizada com dispositivos mecânicos de rotação é rotações por minuto, RPM abreviado. 60 RPM equivalem a 1 hertz.

O período, normalmente indicado por T, é o período de tempo correspondente a um ciclo, e é o recíproco da frequência f:

f={\frac {1}{T}}

x

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

A unidade no SI para o período é o segundo.

Em física, comprimento de onda é a distância entre valores repetidos sucessivos num padrão de onda.^[1] É usualmente representado pela letra grega lambda (λ).

Em uma onda senoidal, o comprimento de onda “é a distância (paralela à direção de propagação da onda) entre repetições da forma de onda". Pode, então, ser representada pela distância entre picos (máximos), vales (mínimos), ou duas vezes a distância entre nós.

No gráfico ao lado, o eixo x representa a distância e o eixo y representa alguma quantidade periódica,^[2] como por exemplo a pressão, no caso do som ou o campo elétrico para ondas eletromagnéticas ou a altura da água para uma onda no mar profundo. A altura no eixo y é também chamada de amplitude da onda.

O comprimento de onda λ tem uma relação inversa com a frequência^[3] f, a velocidade de repetição de qualquer fenômeno periódico. O comprimento de onda é igual à velocidade da onda dividida pela frequência da onda. Quando se lida com radiação electromagnética no vácuo, essa velocidade é igual à velocidade da luz 'c', para sinais (ondas) no ar, essa velocidade é a velocidade na qual a onda viaja.

Essa relação é dada por: ^[4]

\lambda ={\frac {c}{f}}

x

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

em que:

λ = comprimento de onda de uma onda sonora ou onda electromagnética;

c = velocidade da luz no vácuo = 299.792,458 km/s ~ 300.000 km/s = 300.000.000 m/s

f = frequência da onda 1/s = Hz.

A velocidade de uma onda pode portanto ser calculada com a seguinte equação:^[5]

v={\frac {\lambda }{T}}={\lambda }{f}

x

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

em que:

v = velocidade da onda.

λ = comprimento de onda de uma onda sonora ou onda electromagnética;

T é o período da onda.

O inverso do período, 1/T, é chamado de frequência da onda, ou frequência de onda:

f={\frac {1}{T}}

x

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

e mede o número de ciclos (repetições) por segundo executados pela onda. É medida em hertz (ciclos/segundo).

Para caracterizar uma onda, portanto, é necessário conhecer apenas duas quantidades, a velocidade e o comprimento de onda ou a frequência e a velocidade, já que a terceira quantidade pode ser determinada da equação acima, que podemos reescrever como:^[6]

f={\frac {v}{\lambda }}

x

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

Quando ondas de luz (e outras ondas electromagnéticas) entram num dado meio, o seu comprimento de onda é reduzido por um factor igual ao índice de refração n do meio, mas a frequência permanece inalterada. O comprimento de onda no meio, λ' é dado por^[7]:

\lambda ^{\prime }={\frac {\lambda _{0}}{n}}

x

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

em que:

λ₀ é o comprimento de onda no vácuo.

Ondas em cordas[editar | editar código-fonte]

Três primeiros harmônicos em cordas com as extremidades fixas

Ondas estacionárias se formam em instrumentos musicais de cordas, como a guitarra. Nas extremidades, são formados nodos. No primeiro harmônico haverá somente um antinodo, no segundo haverá dois antinodos e assim por diante. A partir disso, concluímos que:

{\lambda _{n}}=2{\frac {L}{n}}\qquad n=1,2,3,\dots

x

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

Onde L é o comprimento da corda e n representa o n-ésima harmônica.

Já para cordas com uma das extremidades livre, se formará um nodo na extremidade fixa e um antinodo na extremidade livre. Nesse caso, o comprimento de onda é dado por:

{\lambda _{n}}=4{\frac {L}{n}}\qquad n=1,3,5,\dots

x

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

Onde n representa o n-ésima harmônica, não havendo os harmônicos pares nesse sistema.

quarta-feira, 4 de dezembro de 2019

Eletrodinâmica quântica (EDQ), ou QED, de Quantum electrodynamics, é uma teoria quântica de campos do eletromagnetismo. A EDQ descreve todos os fenômenos envolvendo partículas eletricamente carregadas interagindo por meio da força eletromagnética. Sua capacidade de predição de grandezas como o momento magnético anômalo do múon e o desvio de Lamb dos níveis de energia do hidrogênio a tornou uma teoria renomada.

História[editar | editar código-fonte]

A eletrodinâmica foi a evolução natural das teorias da antigamente denominada segunda quantização, isto é, quantização dos campos, ao ramo da eletrodinâmica.

As teorias de campo são necessariamente relativísticas, já que admitindo-se que haja partículas mensageiras na troca de energia e momento mediados pelo campo, essas mesmas partículas, a exemplo do fóton (que historicamente precedeu a descoberta das teorias de quantização do campo) devem se deslocar a velocidades próximas ou igual à da luz no vácuo (c = 299 792 458 m/s).

A primeira formulação da eletrodinâmica quântica é atribuída a Paul Dirac, que nos anos 1920 foi capaz de calcular o coeficiente de emissão espontânea do átomo.^[1] Essa teoria se desenvolveu a partir dos trabalhos Sin-Itiro Tomonaga, Julian Schwinger e Richard Feynman. Pelos seus trabalhos, eles ganharam o prêmio Nobel de Física em 1965.

Desenvolvimento formal[editar | editar código-fonte]

A eletrodinâmica quântica é uma teoria abeliana de calibre, dotada de um grupo de calibre U(1).

O campo de calibre que media a interação entre campos de spin 1/2, é o campo eletromagnético, que se apresenta sob a forma de fótons.

A descrição da interação se dá através da lagrangiana para a interação entre elétrons e pósitrons, que é dada por:

{\mathcal {L}}=\psi ^{*}(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }

x

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

onde

\ \psi

e sua adjunta de Dirac

\psi ^{*}

são os campos representando partículas eletricamente carregadas, especificamente, os campos do elétron e pósitron representados como espinores de Dirac.

A equação da difusão é uma equação em derivadas parciais que descreve flutuações de densidade em um material que se difunde. É também usada para descrever processos exibindo um comportamento de difusão.

Equação[editar | editar código-fonte]

A equação é geralmente escrita como:

{\frac {\partial \phi }{\partial t}}=\nabla \cdot (D(\phi ,{\vec {r}})\nabla \phi ({\vec {r}},t))

x

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

onde

\phi

é a densidade do material que difunde,

t

é o tempo, e

D

é o coeficiente de difusão coletivo,

\vec{r}

é a coordenada espacial e o símbolo nabla (∇) representa o vetor operador diferencial del. Se o coeficiente de difusão depende da densidade, então a equação não é linear; de outra maneira seria linear. Se D é constante, então a equação se reduz à seguinte equação linear:

{\frac {\partial \phi }{\partial t}}=D\nabla ^{2}\phi ({\vec {r}},t)

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES EN CADEIAS, DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

[EQUAÇÃO DE DIRAC].

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

+ FUNÇÃO TÉRMICA.

N=N_{{o}}.e^{{-\lambda .t}}

+ FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

T=e^{-2bL}

b={\sqrt {\frac {8\pi ^{2}m(Ub-E)}{h^{2}}}}

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

+ ENTROPIA REVERSÍVEL

\sigma =q(n\mu _{n}+p\mu _{p})[\Omega .cm]^{{-1}}

FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

E_{p}={\sqrt {{\frac {\hbar c^{5}}{G}}}}\approx

ENERGIA DE PLANCK

$V [R] [MA] = Δ e, M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M......$
ΤDCG
X
Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
x
sistema de dez dimensões de Graceli +
DIMENSÕES EXTRAS DO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.[como, spins, posicionamento, afastamento, ESTRUTURA ELETRÔNICA, e outras já relacionadas]..
DIMENSÕES DE FASES DE ESTADOS DE TRANSIÇÕES DE GRACELI.
x
sistema de transições de estados, e estados de Graceli, fluxos aleatórios quântico, potencial entrópico e de entalpia. [estados de transições de fases de estados de estruturas, quântico, fenomênico, de energias, e dimensional [sistema de estados de Graceli].
x
TEMPO ESPECÍFICO E FENOMÊNICO DE GRACELI
X
T l   T l    E l      Fl        dfG l
N l   El             tf l
P l   Ml           tfefel
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D

Mais geralmente, quando D é uma matriz simétrico definida positiva, a equação descreve uma difusão anisótrica.

Derivação[editar | editar código-fonte]

A equação de difusão pode ser deduzida a partir da equação de continuidade. A mesma expressa que uma alteração na densidade em um sistema é devido a um fluxo em entrada ou a um fluxo em saída de material do sistema. Ou seja, não pode haver nem criação nem destruição de matéria.

{\frac {\partial \phi }{\partial t}}+\nabla \cdot {\vec {j}}=0

x

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

onde

{\vec {j}}

é o fluxo de material que difunde. A equação de difusão pode ser obtida facilmente desta relação quando é combinada com a Lei de Fick, que assume que o fluxo do material que difunde em qualquer parte do sistema é proporcional ao gradiente local de densidade:

{\vec {j}}=-D(\phi )\nabla \phi ({\vec {r}},t)

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES EN CADEIAS, DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

[EQUAÇÃO DE DIRAC].

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

+ FUNÇÃO TÉRMICA.

N=N_{{o}}.e^{{-\lambda .t}}

+ FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

T=e^{-2bL}

b={\sqrt {\frac {8\pi ^{2}m(Ub-E)}{h^{2}}}}

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

+ ENTROPIA REVERSÍVEL

\sigma =q(n\mu _{n}+p\mu _{p})[\Omega .cm]^{{-1}}

FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

E_{p}={\sqrt {{\frac {\hbar c^{5}}{G}}}}\approx

ENERGIA DE PLANCK

$V [R] [MA] = Δ e, M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M......$
ΤDCG
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Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
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sistema de dez dimensões de Graceli +
DIMENSÕES EXTRAS DO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.[como, spins, posicionamento, afastamento, ESTRUTURA ELETRÔNICA, e outras já relacionadas]..
DIMENSÕES DE FASES DE ESTADOS DE TRANSIÇÕES DE GRACELI.
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sistema de transições de estados, e estados de Graceli, fluxos aleatórios quântico, potencial entrópico e de entalpia. [estados de transições de fases de estados de estruturas, quântico, fenomênico, de energias, e dimensional [sistema de estados de Graceli].
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TEMPO ESPECÍFICO E FENOMÊNICO DE GRACELI
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quinta-feira, 5 de dezembro de 2019

Electromagnetic mass was initially a concept of classical mechanics, denoting as to how much the electromagnetic field, or the self-energy, is contributing to the mass of charged particles. It was first derived by J. J. Thomson in 1881 and was for some time also considered as a dynamical explanation of inertial mass per se. Today, the relation of mass, momentum, velocity and all forms of energy, including electromagnetic energy, is analyzed on the basis of Albert Einstein's special relativity and mass–energy equivalence. As to the cause of mass of elementary particles, the Higgs mechanism in the framework of the relativistic Standard Model is currently used. In addition, some problems concerning the electromagnetic mass and self-energy of charged particles are still studied.

Charged particles[edit]

Rest mass and energy[edit]

It was recognized by J. J. Thomson in 1881^[1] that a charged sphere moving in a space filled with a medium of a specific inductive capacity (the electromagnetic aether of James Clerk Maxwell), is harder to set in motion than an uncharged body. (Similar considerations were already made by George Gabriel Stokes (1843) with respect to hydrodynamics, who showed that the inertia of a body moving in an incompressible perfect fluid is increased.^[2]) So due to this self-induction effect, electrostatic energy behaves as having some sort of momentum and "apparent" electromagnetic mass, which can increase the ordinary mechanical mass of the bodies, or in more modern terms, the increase should arise from their electromagnetic self-energy. This idea was worked out in more detail by Oliver Heaviside (1889),^[3] Thomson (1893),^[4] George Frederick Charles Searle (1897),^[5] Max Abraham (1902),^[6] Hendrik Lorentz (1892, 1904),^[7]^[8] and was directly applied to the electron by using the Abraham–Lorentz force. Now, the electrostatic energy

E_{{em}}

and mass

m_{{em}}

of an electron at rest was calculated to be ^{[B 1]}^{[B 2]}^{[B 3]}

E_{{em}}={\frac {1}{2}}{\frac {e^{{2}}}{a}},\qquad m_{{em}}={\frac {2}{3}}{\frac {e^{{2}}}{ac^{{2}}}}

x

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

where

e

is the charge, uniformly distributed on the surface of a sphere, and

a

is the classical electron radius, which must be nonzero to avoid infinite energy accumulation. Thus the formula for this electromagnetic energy–mass relation is

m_{{em}}={\frac {4}{3}}{\frac {E_{{em}}}{c^{{2}}}}

x

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

This was discussed in connection with the proposal of the electrical origin of matter, so Wilhelm Wien (1900),^[9] and Max Abraham (1902),^[6] came to the conclusion that the total mass of the bodies is identical to its electromagnetic mass. Wien stated, that if it is assumed that gravitation is an electromagnetic effect too, then there has to be a proportionality between electromagnetic energy, inertial mass, and gravitational mass. When one body attracts another one, the electromagnetic energy store of gravitation is according to Wien diminished by the amount (where

M

is the attracted mass,

G

the gravitational constant,

r

the distance):^[9]

G{\frac {{\frac {4}{3}}{\frac {E_{{em}}}{c^{{2}}}}M}{r}}

x

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

Henri Poincaré in 1906 argued that when mass is in fact the product of the electromagnetic field in the aether – implying that no "real" mass exists – and because matter is inseparably connected with mass, then also matter doesn't exist at all and electrons are only concavities in the aether.^[10]

Mass and speed[edit]

Thomson and Searle[edit]

Thomson (1893) noticed that electromagnetic momentum and energy of charged bodies, and therefore their masses, depend on the speed of the bodies as well. He wrote:^[4]

[p. 21] When in the limit v = c, the increase in mass is infinite, thus a charged sphere moving with the velocity of light behaves as if its mass were infinite, its velocity therefore will remain constant, in other words it is impossible to increase the velocity of a charged body moving through the dielectric beyond that of light.

In 1897, Searle gave a more precise formula for the electromagnetic energy of charged sphere in motion:^[5]

E_{{em}}^{{v}}=E_{{em}}\left[{\frac {1}{\beta }}\ln {\frac {1+\beta }{1-\beta }}-1\right],\qquad \beta ={\frac {v}{c}},

x

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

and like Thomson he concluded:

... when v = c the energy becomes infinite, so that it would seem to be impossible to make a charged body move at a greater speed than that of light.

Longitudinal and transverse mass[edit]

Predictions of speed dependence of transverse electromagnetic mass according to the theories of Abraham, Lorentz, and Bucherer.

From Searle's formula, Walter Kaufmann (1901) and Abraham (1902) derived the formula for the electromagnetic mass of moving bodies:^[6]

m_{{L}}={\frac {3}{4}}\cdot m_{{em}}\cdot {\frac {1}{\beta ^{{2}}}}\left[-{\frac {1}{\beta ^{{2}}}}\ln \left({\frac {1+\beta }{1-\beta }}\right)+{\frac {2}{1-\beta ^{{2}}}}\right]

x

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

However, it was shown by Abraham (1902), that this value is only valid in the longitudinal direction ("longitudinal mass"), i.e., that the electromagnetic mass also depends on the direction of the moving bodies with respect to the aether. Thus Abraham also derived the "transverse mass":^[6]

m_{{T}}={\frac {3}{4}}\cdot m_{{em}}\cdot {\frac {1}{\beta ^{{2}}}}\left[\left({\frac {1+\beta ^{{2}}}{2\beta }}\right)\ln \left({\frac {1+\beta }{1-\beta }}\right)-1\right]

x

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

On the other hand, already in 1899 Lorentz assumed that the electrons undergo length contraction in the line of motion, which leads to results for the acceleration of moving electrons that differ from those given by Abraham. Lorentz obtained factors of

k^{3}\varepsilon

parallel to the direction of motion and

k\varepsilon

perpendicular to the direction of motion, where

k={\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}

and

\varepsilon

is an undetermined factor.^[11] Lorentz expanded his 1899 ideas in his famous 1904 paper, where he set the factor

\varepsilon

to unity, thus:^[8]

m_{{L}}={\frac {m_{{em}}}{\left({\sqrt {1-{\frac {v^{{2}}}{c^{{2}}}}}}\right)^{{3}}}},\quad m_{{T}}={\frac {m_{{em}}}{{\sqrt {1-{\frac {v^{{2}}}{c^{{2}}}}}}}}

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES EN CADEIAS, DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

[EQUAÇÃO DE DIRAC].

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

+ FUNÇÃO TÉRMICA.

N=N_{{o}}.e^{{-\lambda .t}}

+ FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

T=e^{-2bL}

b={\sqrt {\frac {8\pi ^{2}m(Ub-E)}{h^{2}}}}

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

+ ENTROPIA REVERSÍVEL

\sigma =q(n\mu _{n}+p\mu _{p})[\Omega .cm]^{{-1}}

FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

E_{p}={\sqrt {{\frac {\hbar c^{5}}{G}}}}\approx

ENERGIA DE PLANCK

$V [R] [MA] = Δ e, M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M......$
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DIMENSÕES EXTRAS DO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.[como, spins, posicionamento, afastamento, ESTRUTURA ELETRÔNICA, e outras já relacionadas]..
DIMENSÕES DE FASES DE ESTADOS DE TRANSIÇÕES DE GRACELI.
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sistema de transições de estados, e estados de Graceli, fluxos aleatórios quântico, potencial entrópico e de entalpia. [estados de transições de fases de estados de estruturas, quântico, fenomênico, de energias, e dimensional [sistema de estados de Graceli].
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So, eventually Lorentz arrived at the same conclusion as Thomson in 1893: no body can reach the speed of light because the mass becomes infinitely large at this velocity.

Additionally, a third electron model was developed by Alfred Bucherer and Paul Langevin, in which the electron contracts in the line of motion, and expands perpendicular to it, so that the volume remains constant.^[12] This gives:

m_{{L}}={\frac {m_{{em}}\left(1-{\frac {1}{3}}{\frac {v^{{2}}}{c^{{2}}}}\right)}{\left({\sqrt {1-{\frac {v^{{2}}}{c^{{2}}}}}}\right)^{{8/3}}}},\quad m_{{T}}={\frac {m_{{em}}}{\left({\sqrt {1-{\frac {v^{{2}}}{c^{{2}}}}}}\right)^{{2/3}}}}

x

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

Kaufmann's experiments[edit]

The predictions of the theories of Abraham and Lorentz were supported by the experiments of Walter Kaufmann (1901), but the experiments were not precise enough to distinguish between them.^[13] In 1905 Kaufmann conducted another series of experiments (Kaufmann–Bucherer–Neumann experiments) which confirmed Abraham's and Bucherer's predictions, but contradicted Lorentz's theory and the "fundamental assumption of Lorentz and Einstein", i.e., the relativity principle.^[14]^[15] In the following years experiments by Alfred Bucherer (1908), Gunther Neumann (1914) and others seemed to confirm Lorentz's mass formula. It was later pointed out that the Bucherer–Neumann experiments were also not precise enough to distinguish between the theories – it lasted until 1940 when the precision required was achieved to eventually prove Lorentz's formula and to refute Abraham's by these kinds of experiments. (However, other experiments of different kind already refuted Abraham's and Bucherer's formulas long before.)^{[B 4]}

Poincaré stresses and 4/3 problem[edit]

The idea of an electromagnetic nature of matter, however, had to be given up. Abraham (1904, 1905)^[16] argued that non-electromagnetic forces were necessary to prevent Lorentz's contractile electrons from exploding. He also showed that different results for the longitudinal electromagnetic mass can be obtained in Lorentz's theory, depending on whether the mass is calculated from its energy or its momentum, so a non-electromagnetic potential (corresponding to 1/3 of the electron's electromagnetic energy) was necessary to render these masses equal. Abraham doubted whether it was possible to develop a model satisfying all of these properties.^[17]

To solve those problems, Henri Poincaré in 1905^[18] and 1906^[19] introduced some sort of pressure ("Poincaré stresses") of non-electromagnetic nature. As required by Abraham, these stresses contribute non-electromagnetic energy to the electrons, amounting to 1/4 of their total energy or to 1/3 of their electromagnetic energy. So, the Poincaré stresses remove the contradiction in the derivation of the longitudinal electromagnetic mass, they prevent the electron from exploding, they remain unaltered by a Lorentz transformation (i.e. they are Lorentz invariant), and were also thought as a dynamical explanation of length contraction. However, Poincaré still assumed that only the electromagnetic energy contributes to the mass of the bodies.^{[B 5]}

As it was later noted, the problem lies in the 4/3 factor of electromagnetic rest mass – given above as

m_{{em}}=(4/3)E_{{em}}/c^{2}

when derived from the Abraham–Lorentz equations. However, when it is derived from the electron's electrostatic energy alone, we have

m_{{es}}=E_{{em}}/c^{2}

where the 4/3 factor is missing. This can be solved by adding the non-electromagnetic energy

E_{{p}}

of the Poincaré stresses to

E_{{em}}

, the electron's total energy

E_{{tot}}

now becomes:

{\frac {E_{{tot}}}{c^{{2}}}}={\frac {E_{{em}}+E_{{p}}}{c^{{2}}}}={\frac {E_{{em}}+{\frac {E_{{em}}}{3}}}{c^{{2}}}}={\frac {4}{3}}{\frac {E_{{em}}}{c^{{2}}}}={\frac {4}{3}}m_{{es}}=m_{{em}}

x

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

Thus the missing 4/3 factor is restored when the mass is related to its electromagnetic energy, and it disappears when the total energy is considered.^{[B 6]}^{[B 7]}

Inertia of energy and radiation paradoxes[edit]

Radiation pressure[edit]

Another way of deriving some sort of electromagnetic mass was based on the concept of radiation pressure. These pressures or tensions in the electromagnetic field were derived by James Clerk Maxwell (1874) and Adolfo Bartoli (1876). Lorentz recognized in 1895^[20] that those tensions also arise in his theory of the stationary aether. So if the electromagnetic field of the aether is able to set bodies in motion, the action/reaction principle demands that the aether must be set in motion by matter as well. However, Lorentz pointed out that any tension in the aether requires the mobility of the aether parts, which is not possible since in his theory the aether is immobile. This represents a violation of the reaction principle that was accepted by Lorentz consciously. He continued by saying, that one can only speak about fictitious tensions, since they are only mathematical models in his theory to ease the description of the electrodynamic interactions.

Mass of the fictitious electromagnetic fluid[edit]

In 1900^[21] Poincaré studied the conflict between the action/reaction principle and Lorentz's theory. He tried to determine whether the center of gravity still moves with a uniform velocity when electromagnetic fields and radiation are involved. He noticed that the action/reaction principle does not hold for matter alone, but that the electromagnetic field has its own momentum (such a momentum was also derived by Thomson in 1893 in a more complicated way^[4]). Poincaré concluded, the electromagnetic field energy behaves like a fictitious fluid („fluide fictif“) with a mass density of

E_{{em}}/c^{2}

(in other words

m_{{em}}=E_{{em}}/c^{2}

). Now, if the center of mass frame (COM-frame) is defined by both the mass of matter and the mass of the fictitious fluid, and if the fictitious fluid is indestructible – it is neither created or destroyed – then the motion of the center of mass frame remains uniform.

But this electromagnetic fluid is not indestructible, because it can be absorbed by matter (which according to Poincaré was the reason why he regarded the em-fluid as "fictitious" rather than "real"). Thus the COM-principle would be violated again. As it was later done by Einstein, an easy solution of this would be to assume that the mass of em-field is transferred to matter in the absorption process. But Poincaré created another solution: He assumed that there exists an immobile non-electromagnetic energy fluid at each point in space, also carrying a mass proportional to its energy. When the fictitious em-fluid is destroyed or absorbed, its electromagnetic energy and mass is not carried away by moving matter, but is transferred into the non-electromagnetic fluid and remains at exactly the same place in that fluid. (Poincaré added that one should not be too surprised by these assumptions, since they are only mathematical fictions.) In this way, the motion of the COM-frame, incl. matter, fictitious em-fluid, and fictitious non-em-fluid, at least theoretically remains uniform.

However, since only matter and electromagnetic energy are directly observable by experiment (not the non-em-fluid), Poincaré's resolution still violates the reaction principle and the COM-theorem, when an emission/absorption process is practically considered. This leads to a paradox when changing frames: if waves are radiated in a certain direction, the device will suffer a recoil from the momentum of the fictitious fluid. Then, Poincaré performed a Lorentz boost (to first order in v/c) to the frame of the moving source. He noted that energy conservation holds in both frames, but that the law of conservation of momentum is violated. This would allow perpetual motion, a notion which he abhorred. The laws of nature would have to be different in the frames of reference, and the relativity principle would not hold. Therefore, he argued that also in this case there has to be another compensating mechanism in the ether.^{[B 8]}^{[B 9]}

Poincaré came back to this topic in 1904.^[22]^[23] This time he rejected his own solution that motions in the ether can compensate the motion of matter, because any such motion is unobservable and therefore scientifically worthless. He also abandoned the concept that energy carries mass and wrote in connection to the above-mentioned recoil:

The apparatus will recoil as if it were a cannon and the projected energy a ball, and that contradicts the principle of Newton, since our present projectile has no mass; it is not matter, it is energy.

Momentum and cavity radiation[edit]

However, Poincaré's idea of momentum and mass associated with radiation proved to be fruitful, when Max Abraham introduced^[6] the term „electromagnetic momentum“, having a field density of

E_{{em}}/c^{2}

per cm³ and

E_{{em}}/c

per cm². Contrary to Lorentz and Poincaré, who considered momentum as a fictitious force, he argued that it is a real physical entity, and therefore conservation of momentum is guaranteed.

In 1904, Friedrich Hasenöhrl specifically associated inertia with radiation by studying the dynamics of a moving cavity.^[24] Hasenöhrl suggested that part of the mass of a body (which he called apparent mass) can be thought of as radiation bouncing around a cavity. The apparent mass of radiation depends on the temperature (because every heated body emits radiation) and is proportional to its energy, and he first concluded that

m=(8/3)E/c^{2}

. However, in 1905 Hasenöhrl published a summary of a letter, which was written by Abraham to him. Abraham concluded that Hasenöhrl's formula of the apparent mass of radiation is not correct, and on the basis of his definition of electromagnetic momentum and longitudinal electromagnetic mass Abraham changed it to

m=(4/3)E/c^{2}

, the same value for the electromagnetic mass for a body at rest. Hasenöhrl recalculated his own derivation and verified Abraham's result. He also noticed the similarity between the apparent mass and the electromagnetic mass. However, Hasenöhrl stated that this energy-apparent-mass relation only holds as long a body radiates, i.e. if the temperature of a body is greater than 0 K.^[25]^{[B 10]}

Modern view[edit]

Mass–energy equivalence[edit]

The idea that the principal relations between mass, energy, momentum and velocity can only be considered on the basis of dynamical interactions of matter was superseded, when Albert Einstein found out in 1905 that considerations based on the special principle of relativity require that all forms of energy (not only electromagnetic) contribute to the mass of bodies (mass–energy equivalence).^[26]^[27]^[28] That is, the entire mass of a body is a measure of its energy content by

E=mc^{2}

, and Einstein's considerations were independent from assumptions about the constitution of matter.^{[B 2]} By this equivalence, Poincaré's radiation paradox can be solved without using "compensating forces", because the mass of matter itself (not the non-electromagnetic aether fluid as suggested by Poincaré) is increased or diminished by the mass of electromagnetic energy in the course of the emission/absorption process.^{[B 9]} Also the idea of an electromagnetic explanation of gravitation was superseded in the course of developing general relativity.^{[B 9]}

So every theory dealing with the mass of a body must be formulated in a relativistic way from the outset. This is for example the case in the current quantum field explanation of mass of elementary particles in the framework of the Standard Model, the Higgs mechanism. Because of this, the idea that any form of mass is completely caused by interactions with electromagnetic fields, is not relevant any more.

Relativistic mass[edit]

The concepts of longitudinal and transverse mass (equivalent to those of Lorentz) were also used by Einstein in his first papers on relativity.^[26] However, in special relativity they apply to the entire mass of matter, not only to the electromagnetic part. Later it was shown by physicists like Richard Chace Tolman^[29] that expressing mass as the ratio of force and acceleration is not advantageous. Therefore, a similar concept without direction dependent terms, in which force is defined as

{\vec {F}}=\mathrm {d} {\vec {p}}/\mathrm {d} t

, was used as relativistic mass

M={\frac {m_{{0}}}{{\sqrt {1-{\frac {v^{{2}}}{c^{{2}}}}}}}},\qquad m_{{0}}={\frac {E}{c^{2}}},

x

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

This concept is sometimes still used in modern physics textbooks, although the term 'mass' is now considered by many to refer to invariant mass, see mass in special relativity.

Self-energy[edit]

When the special case of the electromagnetic self-energy or self-force of charged particles is discussed, also in modern texts some sort of "effective" electromagnetic mass is sometimes introduced – not as an explanation of mass per se, but in addition to the ordinary mass of bodies.^{[B 11]} Many different reformulations of the Abraham–Lorentz force have been derived – for instance, in order to deal with the 4/3-problem (see next section) and other problems that arose from this concept. Such questions are discussed in connection with renormalization, and on the basis of quantum mechanics and quantum field theory, which must be applied when the electron is considered physically point-like. At distances located in the classical domain, the classical concepts again come into play.^{[B 11]} A rigorous derivation of the electromagnetic self-force, including the contribution to the mass of the body, was published by Gralla et al. (2009).^[30]

4/3 problem[edit]

Max von Laue in 1911^[31] also used the Abraham–Lorentz equations of motion in his development of special relativistic dynamics, so that also in special relativity the 4/3-factor is present when the electromagnetic mass of a charged sphere is calculated. This contradicts the mass–energy equivalence formula, which requires the relation

m_{{em}}=E_{{em}}/c^{2}

without the 4/3 factor, or in other words, four-momentum doesn't properly transform like a four-vector when the 4/3 factor is present. Laue found a solution equivalent to Poincaré's introduction of a non-electromagnetic potential (Poincaré stresses), but Laue showed its deeper, relativistic meaning by employing and advancing Hermann Minkowski's spacetime formalism. Laue's formalism required that there are additional components and forces, which guarantee that spatially extended systems (where both electromagnetic and non-electromagnetic energies are combined) are forming a stable or "closed system" and transform as a four-vector. That is, the 4/3 factor arises only with respect to electromagnetic mass, while the closed system has total rest mass and energy of

m_{{tot}}=E_{{tot}}/c^{2}

.^{[B 5]}

Another solution was found by authors such as Enrico Fermi (1922),^[32] Paul Dirac (1938)^[33] Fritz Rohrlich (1960),^[34] or Julian Schwinger (1983),^[35] who pointed out that the electron's stability and the 4/3-problem are two different things. They showed that the preceding definitions of four-momentum are non-relativistic per se, and by changing the definition into a relativistic form, the electromagnetic mass can simply be written as

m_{{em}}=E_{{em}}/c^{2}

and thus the 4/3 factor doesn't appear at all. So every part of the system, not only "closed" systems, properly transforms as a four-vector. However, binding forces like the Poincaré stresses are still necessary to prevent the electron from exploding due to Coulomb repulsion. But on the basis of the Fermi–Rohrlich definition, this is only a dynamical problem and has nothing to do with the transformation properties any more.^{[B 5]}

Also other solutions have been proposed, for instance, Valery Morozov (2011)^[36] gave consideration to movement of an imponderable charged sphere. It turned out that a flux of nonelectromagnetic energy exists in the sphere body. This flux has an impulse exactly equal to 1/3 of the sphere electromagnetic impulse regardless of a sphere internal structure or a material, it is made of. The problem was solved without attraction of any additional hypotheses. In this model, sphere tensions are not connected with its mass.^{[B 5]}

The 4/3 problem for electromagnetic field becomes clearer when the generalized Poynting theorem is used in a physical system for all active fields.^{[citation needed]} In this case, it is shown that the cause of the 4/3 problem is the difference between the four-vector and four-tensor. Indeed, the energy and momentum of the system form a four-momentum. However, the energy and momentum densities of electromagnetic field are temporary components of the stress-energy tensor and do not form a four-vector. The same applies to integrals over the volume of these components.